数学分析简明教程/首都师范大学数学教学系列丛书

第一章“实数的十进表示及运算”严格讲述初级中学数学课本叙述的有理数、无理数和实数的概念。严格讲述数列极限的概念。使用实数的十进表示，借助极限概念，用“算数的方式”处理正数的“幂运算”。讲清楚高级中学课本中所说的指数函数。第二章“函数”是中学数学对于函数概念的讨论的深化。严格介绍和讨论函数的连续性等概念，顺带给出了指数函数的解析方式的定义。同时介绍Rn的基本拓扑概念。第三章“微分学”从“Rm到Rn的映射”出发，严格讲述导数概念。第四章“积分学”系统讲解Lebesgue积分理论。包括测度、可测函数、积分的定义和基本理论。其中包括Rn上积分的变量替换法，并介绍线段上几乎连续函数的积分的Riemann算法(经典的Riemann积分)、微积分基本定理及以其为基础的积分算法。第五章、第六章、第七章，这三章讲述积分学的应用。第五章讲两方面的问趱。一方面是如何计算Rn中常见几何体的体积。另一方面的内容是一些常见的积分以及积分的极限的计算，兼论及可积函数用光滑函数近似的问题。第六章讲述Rn中的k(1≤k第七章讲述Rn中的一维流形(曲线)上的第二型积分以及R3中的二维流形(曲面)上的第二型积分。作为应用，给出了二维和三维情形的Brouwer不动点定理的证明。第八章“函数的级数展开”一方面讨论光滑函数的Taylor级数，另一方面对于可积函数(当然是Lebesgue可积函数)的Fourier展开做一个基本的介绍。可作为大学数学系一、二年级本科生教材。